Лекция 1. Основные понятия

1. Пространство элементарных событий

Пример 1.   Пусть опыт G состоит в бросании игральной кости и наблюдении числа выпавших очков X. Тогда можно ввести следующие случайные события: {X = 1}, {X = 2}, ... , {X = 6}, {X ≤ 2}, {2 < X ≤ 6}, { X - чётно}, {X - нечетно} и т.д.

Определение 1.   Возможные исходы ω опыта G называются элементарными событиями, если они являются взаимно исключающими, и в результате опыта G одно из них обязательно происходит .

Определение 2.   Совокупность Ω всех элементарных событий ω в опыте G называется пространством элементарных событий.

Замечание 3.   Пространство элементарных событий - это математическая модель опыта, в которой любому событию ставится в соответствие некоторое подмножество пространства Ω. В общем случае каждому опыту G можно сопоставить несколько математических моделей, т.е. пространств элементарных событий.

Определение 3.   Случайным событием (или просто событием) A называется подмножество пространства Ω.

Пример 2.   В примере 1 пространство элементарных событий Ω = {ω₁, ... , ω₆}, а элементарное событие ω_i состоит в том, что {X = i}, i = 1,6. Случайное событие {X - чётно} = {ω₂,ω₄,ω₆} является подмножеством пространства Ω.

Определение 4.   Событие называется невозможным в опыте G, если при повторении опыта оно никогда не происходит. Ему соответствует пустое подмножество в Ω, которое обозначают Ж.

Определение 5.   Событие называется достоверным в опыте G, если при повторении опыта оно происходит всегда. Ему соответствует пространство Ω.

Определение 6.   Говорят, что в опыте G событие A влечёт появление события B, если из осуществления события A следует наступление события B, т.е. каждый элемент множества A принадлежит множеству B. Это обозначается так: A М B.

2. Алгебра событий

Определение 2.   Суммой событий A и B называется событие A + B состоящее в том, что в опыте произойдёт хотя бы одно из этих событий. Событию A + B соответствует множество, элементы которого принадлежат хотя бы одному из множеств A или B, т.е. объединение множеств A и B.

Определение 3.   Произведением событий A и B называется событие AB, состоящее в одновременном появлении этих событий. Событию AB соответствует множество, элементы которого принадлежат одновременно множествам A и B,  пересечение множеств A и B.

Определение 4.   Разностью событий A и B называется событие A \ B, состоящее в том, что событие A произойдёт, а событие B нет, т.е. событию A \ B соответствует множество, состоящее из элементов множества A, не принадлежащих множеству B.

Определение 5.   Событие A называется противоположным событию A, если оно заключается в непоявлении события A. Событию A соответствует множество всех элементов пространства Ω, не принадлежащих множеству A, т.е. A = Ω \ A.

Пример 1.   Пусть опыт G заключается в проведении стрельбы наугад по квадрату "Ω", точки которого являются элементарными событиями ω. Пусть попадание в квадрат "Ω" есть достоверное событие Ω, а попадание в области "A" и "B" - события A и B. Тогда события A + B, AB, A \ B, A будут выглядеть следующим образом:

Определение 6.   События A и B называются несовместными, если они не могут произойти одновременно в одном опыте,  AB = Ж.

С в о й с т в а   с о б ы т и й   A :

1)   Ω + A = Ω ,

2)   ΩA = A ,

3)   AA = A (но не A2) ,

4)   A + A = A (но не 2A) ,

5)   A + Ж = A ,

6)   AЖ = Ж ,

7)   ( A \ B )( B \ A ) = Ж ,

8)   A + B = B + A ,

9)   AB = BA ,

10)   C(A+B) = CA + CB ,

11)   A + B = A•B, A + B = AB,

= 12)   A = A, A + A = Ω.

Замечание 1.   Алгебру событий иногда называют также алгеброй Буля. В дальнейшем для обозначения событий и соответствующих им множеств будут использоваться одни и те же символы.

3. Вероятность события

Определение 1.   Пусть при n-кратном повторении опыта G событие A произошло m_A раз. Частотой W_n(A) события A называется отношение W_n(A) = m_A / n.

Замечание 1.   Априори (ранее, до опыта) частота W_n(A) является случайной, т.е. нельзя предсказать точное её значение до проведения данной серии из n опытов. Однако природа случайных событий такова, что на практике наблюдается эффект устойчивости частот. Его суть заключается в том, что при увеличении числа опытов значение частоты практически перестаёт быть случайным и стабилизируется около некоторого неслучайного числа P(A), соответствующего данному конкретному событию A в опыте G (точные формулировки приведены в лекции 10, теорема Бернулли Л10.Р2.Т5).

Определение 2.   (По Мизесу). Число P(A) называется вероятностью события A в опыте G.

Замечание 2.   Введённое определение указывает на то, что вероятность P(A) характеризует частоту появления события A при многократном повторении опыта G.

С в о й с т в а   ч а с т о т ы   W_n(A) :

1)   W_n(A) ≥ 0, так как m_A ≥ 0, а n > 0 ;

2)   W_n(A) ≤ 1, так как m_A ≤ n ;

3)   если при n-кратном повторении опыта несовместные события A и B появились соответственно m_A и m_B раз, то

Wn(A + B)

Δ  =

mA + mB       n

=

mA   n

+

mB   n

= Wn(A) + Wn(B) .

Замечание 3.   Частотное определение вероятности неудобно по двум причинам: 1) стремление частоты события A к вероятности происходит не в общепринятом смысле, а в вероятностном; 2) вычисление предельного значения P(A), к которому стремится частота, может быть невозможным вследствие значительных трудностей при проведении большого числа опытов.

Определение 3.   Класс Б  подмножеств пространства Ω, включающий в себя результаты сложения и умножения счётного числа своих элементов (т.е. замкнутый относительно этих операций), называется σ-алгеброй. Элементы σ-алгебры Б  (т.е. подмножества пространства Ω) называются событиями. При этом говорят, что подмножества из Ω, принадлежащие Б , измеримы.

Определение 4.   (По Колмогорову). Вероятностью события A называется функция P(A), определённая на σ-алгебре Б  и удовлетворяющая следующим 4-м аксиомам теории вероятностей.

Аксиомы  теории  вероятностей :

А1   (Неотрицательность вероятности).   Каждому событию A О Б  ставится в соответствие неотрицательное число P(A), т.е. P(A) ≥ 0 для любого A О Б .

А2   (Нормировка вероятности).   Вероятность достоверного события равна единице, т.е. P(Ω) = 1.

А3   (Конечная аддитивность вероятности).   Для любых несовместных событий A и B справедливо равенство P(A+B) = P(A) + P(B).

А4   (Непрерывность вероятности).   Для любой убывающей последовательности A₁ Й A₂ Й ... Й A_n Й ... событий из Б  такой, что

+∞ ∏ n=1

An = Ж ,

имеет место равенство

l i m n→∞

P(An) = 0.

Замечание 6.   Введённые в определении 4 аксиомы A1-A3 тесно связаны со свойствами частоты. Эта связь обосновывает также и частотное определение вероятности. В дальнейшем аксиома A4 и предположение о замкнутости алгебры событий Б  относительно счётного числа операций почти не используется. Отметим также, что аксиомы A3,A4 о конечной аддитивности и непрерывности вероятности могут быть заменены на эквивалентную аксиому о счётной аддитивности вероятности (см. замечание Л3.Р2.З3).

Лекция 2.
Оглавление